Verteilung von Projektrenditen

Risiko neu interpretiert

1. Fehler und Risiken im Projektgeschäft

Im Projektgeschäft sind Abweichungen von einem wie auch immer geplanten Soll stets auf zwei fundamentale, unterschiedliche Mechanismen zurückzuführen: Fehler und Risiken. Fehler sind Abweichungen von etablierten Standards oder Konventionen, die auf vergangenen Erfahrungen und Forschungen der Branche oder des Unternehmens basieren. Standards repräsentieren somit den gegenwärtigen state of the art. Solche Standards sind zB Gesetze, technische Normen oder auch bewährte unternehmensinterne Prozesse. Fehler sind daher trotz menschlicher Unzulänglichkeit als grundsätzlich vermeidbar oder zumindest verminderbar einzustufen. Fehler bedeuten, dass der erzielbare state of the art noch nicht erreicht ist. Risiken hingegen bezeichnen Ereignisse, welche sich dem direkten Einfluss und exakter Vorhersagbarkeit entziehen und die daher prinzipiell unvermeidbar sind.

Entsprechend der Norm ISO 31000 wird Risiko hierbei als neutraler Oberbegriff für die Gesamtheit sowohl von Wagnissen als auch von Chancen verwendet. Quelle von Risiko ist stets ein Mangel an Information, der sich in drei Kategorien unterteilen lässt:

Risiken bezeichnen negative wie auch positive Abweichungen vom geplanten Soll, die auf Einzelprojekten nicht exakt einschätzbar oder gar vorhersagbar sind. Bei einer Vielzahl hinreichend ähnlicher Projekte jedoch sind verwertbare statistische Muster zu erwarten.

Um die wirtschaftliche Auswirkung von Projekten auch sehr unterschiedlicher Größenordnung miteinander vergleichen zu können, wird die Projektrendite in Prozent als geeignete Variable untersucht. Dabei wird vorausgesetzt, dass die darin eingeschlossenen Anteile von Fehler- und Risikofolgen über alle Größenordnungen von Projekten ähnlich sind.

2. Projektrenditen in einem vollkommenen Markt

Als einfachster und stark idealisierter Fall wird zunächst ein sogenannter vollkommener Markt betrachtet, der in Analogie zur Volkswirtschaftslehre wie folgt charakterisiert ist:

In einem solchen Markt mit vollständiger Information gibt es definitionsgemäß keinerlei Risiko (vgl Punkt 1.). Es würde sich eine scharf begrenzte Gleichgewichtsrendite μ_max einstellen, die sowohl Auftraggeber als auch Auftragnehmer akzeptieren (Jevons’ Gesetz). Diese maximale Rendite μ_max wird jedoch nicht immer erreicht. Aufgrund von Fehlern, zu denen auch die nicht ausgeschöpften Optimierungspotenziale interner Prozesse zählen, wird die maximale Rendite nur angenähert. Jeder Anbieter (mit all seinen Beteiligten, Lieferanten und Subunternehmern) erwirtschaftet daher lediglich eine um seinen spezifischen Fehleranteil f reduzierte Rendite μ = μ_max – f. Dieser Fehleranteil f wird zunächst als normalverteilt angesetzt. Es zeigt sich jedoch, dass seine Streuung so gering ist, dass er in guter Näherung als konstant angenommen werden kann. Die „Wahrscheinlichkeitsverteilung“ p(x) der Projektrenditen x eines bestimmten Anbieters hat dann in einem solchen vollkommenen Markt ohne Risiko lediglich einen einzelnen scharfen Wert: die Rendite μ < μ_max (Abbildung 1).

3. Projektrenditen unter Risiko

Reale Märkte jedoch sind weit von den idealisierten Annahmen eines vollkommenen Markts entfernt. Insbesondere ist Risiko nun ein entscheidender Faktor. Aufgrund einer Bandbreite von Wagnissen und Chancen bildet sich um die Rendite μ herum eine Verteilung der Projektrenditen heraus. Dabei werden folgende Annahmen gemacht:

Abbildung 1: Verteilung p(x) der Projektrenditein einem vollkommenen Markt

Mit den ersten drei Annahmen lässt sich die Projektrendite x als Summe schreiben:

In der Statistik ist die Gedächtnislosigkeit einer Zufallsvariablen exakt definiert. Auf ein Projekt bezogen bedeutet es vereinfacht, dass die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Renditenerhöhung durch eine zusätzliche Chance (wie etwa besseres Wetter) nicht davon abhängen darf, wie viele Chancen bereits eingetreten sind (zB günstigere Bodenverhältnisse). Gleiches gilt für Wagnisse. Mathematisch beweisbar gibt es nur eine einzige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die dieser Forderung der Gedächtnislosigkeit genügt: die Exponentialverteilung. Wagnisse und Chancen als Abweichungen von μ müssen daher jeweils exponentialverteilt sein (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2: Wagnisse und Chancen als Exponentialverteilungen

Die Gleichungen für die beiden unabhängigen Exponentialverteilungen lauten:

Dabei bezeichnen die Parameter σ₁ und σ₂ die jeweiligen Standardabweichungen der Wagnisse und Chancen als Maß für deren Streuungen. Die Kombination der Gleichungen (1) und (2) ergibt mit der mathematischen Operation der Faltung schließlich die Verteilung p(x) der Projektrenditen. Man erhält eine sogenannte asymmetrische Laplace-Verteilung:

Diese Verteilung hängt von nur drei Parametern ab. Die wahrscheinlichste Rendite μ legt die Lage des Gipfels der Verteilung fest. σ₁ und σ₂ bestimmen, wie rasch die Verteilung zur Wagnis- und zur Chancenseite hin abklingt, also die spezifische Form der Verteilung. Ihre Hauptkennwerte lassen sich plausibel interpretieren:

Der Mittelwert der Projektrenditen ist ein Maß für die Profitabilität der operativen Einheit. Er kann durch eine Verminderung des Fehleranteils f gesteigert werden (siehe Punkt 2.). Außerdem durch eine Reduktion der Wagnisse bei gleichzeitiger Steigerung der Chancen, ausgedrückt durch ihre Teilstreuungen σ₁ und σ₂.

Abbildung 3: Asymmetrische Laplace-Verteilung der Projektrenditen

Die Standardabweichung σ ist ein Maß für die Gesamtstreuung der Verteilung. Sie hängt nicht von μ ab, sondern setzt sich in gleicher Weise nur aus den Wagnis- und Chancenanteilen σ₁ und σ₂ zusammen. Die Standardabweichung σ zeigt, welche Risikobandbreite sich eine operative Einheit leistet. Diese Bandbreite muss groß genug sein, um am Markt teilzunehmen und die bestehenden internen Ressourcen durch eine genügende Anzahl von Projekten auszulasten. Andererseits müssen genügend liquide Mittel vorhanden sein, um auch Durststrecken gehäuft auftretender negativer Renditen lange genug durchzuhalten, dass der zeitliche Ausgleich durch Projekte mit positiven Renditen stattfinden kann. Begrenzte Liquidität limitiert somit die Risikobandbreite. Als Kompromiss ergibt sich für jede operative Einheit eine für sie typische Standardabweichung σ.

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Abbildung 4: Renditeverteilungen der Sparten Hoch- und Ingenieurbau (H&I) und Verkehrswegebau (VWB)

4. Anwendung auf reale Projekte

Die asymmetrische Laplace-Verteilung p(x) der Projektrenditen ist mittels nur weniger Grundüberlegungen hergeleitet worden. Sie ist mit lediglich drei Parametern auf ihre typische zeltförmige Gestalt festgelegt. Mit dem umfangreichen Datenmaterial aus den verschiedensten Geschäftsjahren und operativen Bereichen der STRABAG-Gruppe konnte nachgewiesen werden, dass die empirische Häufigkeitsverteilung der Projektrenditen stets sehr genau der asymmetrischen Laplace-Verteilung entspricht.

Abbildung 4 zeigt die jeweiligen Renditeverteilungen sämtlicher Projekte aus vier Geschäftsjahren der Sparten „Hoch- und Ingenieurbau“ (H&I) und „Verkehrswegebau“ (VWB) in gesättigten deutschsprachigen Märkten. Kreise bezeichnen die empirischen Häufigkeitswerte der Projektrenditen; die Kurve zeigt die theoretisch abgeleitete Verteilung. Zur Vergleichbarkeit der Verteilungen sind Vertikal- und Horizontalmaßstab in beiden Abbildungen gleich. Aus Datenschutzgründen wurden die Beschriftungen weggelassen.

Die empirischen Daten folgen nahezu perfekt der theoretischen Verteilung. Je mehr Projekte beteiligt sind, desto besser ist die Übereinstimmung. Die Risikobandbreite im Verkehrswegebau ist größer als im Hoch- und Ingenieurbau, was die breitere und flachere Verteilung zeigt.

Am erstaunlichsten jedoch ist die Symmetrie der Renditeverteilungen: Wagnisse und Chancen sind auf der Gesamtheit der Projekte nahezu exakt ausbalanciert. Es ist zu vermuten, dass sich in gesättigten, freien Märkten langfristig immer symmetrische Renditeverteilungen einstellen.

Diese These wird untermauert durch die Veränderung der Renditeverteilung über die Zeit am Beispiel einer operativen Einheit „Verkehrswegebau in Osteuropa“. Abbildung 5 zeigt oben die Anpassung der Renditeverteilung für das Jahr 2009. Obwohl nur relativ wenige Projekte involviert sind, gelingt die Anpassung sehr gut. Mittelwert und Standardabweichung der empirischen Daten stimmen mit denen der theoretisch abgeleiteten Verteilung – Gleichungen (4) und (5) – nahezu exakt überein. Im oberen Bild von Abbildung 5 ist die Veränderung dieser Renditeverteilung von 2009 bis 2011 zu sehen.

Der Gipfel μ der Verteilung wandert sukzessive nach links, was auf einen marktbestimmten Rückgang der maximalen Gleichgewichtsrendite μ_max zurückzuführen ist, da sich die Konkurrenzsituation insgesamt verschärft (vgl Punkt 2.). Die Möglichkeiten, große Chancen umzusetzen, werden reduziert. Gleichzeitig sind die Teilnehmer gezwungen, höhere Wagnisse einzugehen. Als Resultat wird die Renditeverteilung, die 2009 noch stark chancenlastig war, im Lauf der Zeit zunehmend symmetrischer. Der Mittelwert der Projektrenditen sinkt entsprechend; siehe Gleichung (4). Diese Entwicklungen stimmen mit der Wahrnehmung der operativ Beteiligten überein. Jedoch erst die Anpassung der empirischen Daten durch das Modell der asymmetrischen Laplace-Verteilung kann diese Zusammenhänge deutlich und der quantitativen Analyse zugänglich machen.

Jede mögliche Nische in Vertragsgestaltung, Risikoübernahme, Planung und Ausführung wird in einer Art Evolution zunehmend genutzt, was die Differenzierung und Kompetenz der Branche mit zunehmender Marktsättigung erhöht. Hier wird eine Entsprechung zum Prinzip der maximalen Entropie vermutet, welches in diesem Artikel nur kurz angerissen werden soll. Die Entropie wurde als Begriff aus der Thermodynamik unter anderem von N. Georgescu-Roegen in die Ökonomie übertragen. E. T. Jaynes schließlich hat die Maximum-Entropie-Methode formalisiert. Auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann eine Entropie zugewiesen werden. Die Entropie H der asymmetrischen Laplace-Verteilung ergibt sich unter Verwendung von Gleichung (3) zu:

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Es kann gezeigt werden, dass bei gegebener Standardabweichung σ nach Gleichung (5) die Entropie H der Renditeverteilung genau dann maximal ist, wenn σ₁ und σ₂ gleich groß sind, wenn also die Verteilung symmetrisch ist. Zusätzlich zu Jevons’ Gesetz (siehe Punkt 2.) ist für Risiko ein zweiter Gleichgewichtsmechanismus wirksam. Die professionelle, evolutive Ausnutzung aller verfügbaren Möglichkeiten, einhergehend mit einer Maximierung der Entropie, scheint der Grund dafür zu sein, dass in gesättigten, freien Märkten die Renditeverteilung von Projekten langfristig immer symmetrisch wird. Oder umgekehrt: Symmetrische Renditeverteilungen kennzeichnen erfolgreiche Unternehmen in gesättigten, freien Märkten. In solchen Märkten reduziert sich Gleichung (4) auf: = μ_max – f. Zur Steigerung der mittleren Rendite bleibt einer operativen Einheit dann nur noch die Reduktion des Fehleranteils f durch Optimierung ihrer internen Prozesse.

Abbildung 5: Änderung der Renditeverteilung einer operativen Einheit VWB