S. 1175. Kalkulation im Leasinggeschäft

5.1. Gesamtüberblick

Für die Kalkulation eines Leasinggeschäfts ist das Wissen über bestimmte Grundkenntnisse und Verfahren der Finanzmathematik von essentieller Bedeutung. Aus diesem Aspekt heraus werden in einem ersten Schritt die zum Verständnis der Leasingkalkulation erforderlichen finanzmathematischen Grundlagen eingehend erläutert. Hierunter fallen insbesondere:

• Einfache Zinsenrechnung,

• Antizipative/dekursive Verzinsungsart,

• Nominal-/Effektivzinssatzberechnung,

• Zinseszinsrechnung,

• Auf-/Abzinsen,

• Rentenrechnung,

• Vorschüssige/nachschüssige Rentenrechnung,

• Aufstellung von Zahlungsströmen,

• Berechnung der internen Verzinsung,

• Umrechnung von Zinssätzen.

In einem nächsten Schritt werden die in der Praxis wichtigsten Kalkulationshilfen für die Kalkulation von Leasingverträgen, die natürlich auch für andere finanzmathematische Berechnungen herangezogen werden können, behandelt. Es handelt sich einerseits um den häufig verwendeten Rechner 17 B II von Hewlett Packard sowie um das Kalkulationsprogramm Excel von Microsoft. Ziel ist es, diese Kalkulationshilfen anhand von Praxisbeispielen zu erklären und für die Lösung von Kalkulationsfragen heranzuziehen.

In einem dritten Schritt wird auf die Kalkulation der verschiedenen Leasingmodelle, wie sie in Österreich üblich sind, eingegangen. Hierbei wird insbesondere auf allfällige Besonderheiten bei der Kalkulation eingegangen.

S. 118Das Kapitel ist daher wie folgt aufgebaut:

5.2. Finanzmathematische Grundlagen

5.2.1. Grundlagen der Zinsenrechnung

5.2.1.1. Allgemeines

Zinsen stellen eine Vergütung (= Gegenleistung) für die zeitlich begrenzte Überlassung von Geld oder Kapital dar. Die Höhe der zu entrichtenden Zinsen wird in Form eines Zinssatzes angegeben. Dieser Zinssatz ist ein Prozentsatz für einen fix vorgegebenen Zeitraum, zB:

• für ein Jahr (pa),

• für einen Monat (pm),

• für ein Quartal (pq).

So bedeutet etwa 6 % pa, dass pro Jahr 6 % des entliehenen Kapitals an Zinsen zu zahlen sind.

In der Regel wird aber das Kapital nicht genau für ein Jahr (einen Monat, ein Quartal) entliehen. In diesem Fall muss der Jahreszinssatz (Monatszinssatz, Quartalszinssatz) auf die tatsächliche Laufzeit umgerechnet werden.

Die Zinsenrechnung kann daher als Prozentrechnung aufgefasst werden, bei der zusätzlich der Zeitfaktor berücksichtigt werden muss.

5.2.1.2. Vergleich mit der Prozentrechnung

Wird das Kapital für ein Jahr zur Verfügung gestellt, entspricht die Zinsenrechnung der Prozentrechnung.

S. 1205.2.1.3. Verzinsungsarten: Dekursive vs antizipative Verzinsung

5.2.1.3.1. Dekursive Verzinsung (= Verzinsung im Nachhinein)

Werden die Zinsen am Ende einer Verzinsungsperiode fällig, so spricht man von dekursiver Verzinsung (Verzinsung im Nachhinein). Die Zinsen werden vom Anfangskapital berechnet und im Nachhinein am Ende der Periode dem Kapital zugeschlagen. Dies erfolgt meist bei Rückzahlung des Kapitals.

Ausbezahlt wird das reine Kapital K.

Rückgezahlt wird am Ende der Laufzeit das um die Zinsen vermehrte Kapital K+Z.

Diese Verzinsungsart wird ua im Kreditbereich, bei Spareinlagen, Wertpapieren und Girokonten verwendet, dh hier werden die Zinsen erst im Nachhinein (am Ende des Quartals, am Ende des Jahres, am Ende der vereinbarten Laufzeit) dem Kapital zugerechnet.

5.2.1.3.2. Antizipative Verzinsung (= Verzinsung im Vorhinein)

Sind die Zinsen zu Beginn einer Verzinsungsperiode fällig, so spricht man von antizipativer Verzinsung. Die Zinsen werden vom Kapital am Ende der Periode berechnet und sofort vom Anfangskapital abgezogen.

Ausbezahlt wird daher nur das um die Zinsen verminderte Kapital K–Z.

Rückgezahlt wird am Ende der Laufzeit das reine Kapital K.

Anwendung findet diese Verzinsungsart nur beim Wechseldiskont, dh hier werden die Zinsen im Vorhinein vom Wechselnominale abgezogen und nur der um die Zinsen verringerte Betrag gelangt zur Auszahlung.

5.2.1.3.3. Vergleichendes Beispiel

5.2.1.3.4. Umrechnung eines antizipativen Zinssatzes in einen dekursiven Zinssatz

Die Umrechnung eines antizipativen Zinssatzes p(a) in einen dekursiven Zinssatz p(d) kann entweder mittels einfacher Schlussrechnung oder mittels einer Formel erfolgen.

Umrechnung mittels Schlussrechnung

Dabei werden einfach die errechneten Zinsen bzw der Zinssatz ins Verhältnis zum Auszahlungsbetrag (zu Beginn der Periode) gesetzt:

Fortsetzung des Beispiels:

Umrechnung mittels Formel

Dies bedeutet im vorliegenden Beispiel, dass ein antizipativer Zinssatz von 8 % gleich einem dekursiven Zinssatz von 8,7 % ist.

Einfach und schnell kann die Umrechnung mittels folgender – aus der Schlussrechnung abgeleiteter – Formel erfolgen:

S. 1225.2.1.4. Nominalzinssatz vs Effektivzinssatz

Unter dem Nominalzinssatz einer Finanzierung oder Veranlagung versteht man den Kalkulationszinssatz, der in den Konditionen angeben ist. Beispielsweise:

• 8 % pa dekursiv,

• 0,5 % pm dekursiv oder

• 9 % pa antizipativ.

Mit diesem Zinssatz wird kalkuliert.

Dieser Zinssatz sagt aber nichts über die effektive Verzinsung – das heißt die „tatsächliche“ Verzinsung – des geliehenen oder veranlagten Kapitals aus. Unter dem Effektivzinssatz versteht man die dekursive Verzinsung des geliehenen oder veranlagten Kapitals, wobei die Verzinsung als Jahreszinssatz angegeben wird.

Dies bedeutet, dass der Effektivzinssatz immer ein dekursiver Jahreszinssatz ist!

Um den Effektivzinssatz einer Finanzierung zu ermitteln, ist es daher erforderlich, sämtliche mit einer Finanzierung verbundenen Kosten wie Zinsen, Bearbeitungsgebühren etc in einem einzigen dekursiven Jahreszinssatz auszudrücken. Wie ein antizipativer Zinssatz in einen dekursiven Jahreszinssatz umgewandelt werden kann, wurde bereits im vorhergehenden Kapitel gezeigt. Im Folgenden findet sich ein Beispiel, wie man zusätzliche Finanzierungskosten (zB Bearbeitungsgebühren etc) in einen dekursiven Jahreszinssatz umwandelt.

5.2.2. Grundlagen der Zinseszinsrechnung

5.2.2.1. Einführung

Im Gegensatz zur Zinsenrechnung erfolgt bei der Zinseszinsrechnung die Zinsenberechnung nicht nur vom Anfangskapital, sondern auch von den bis dahin angefallenen Zinsen. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn Kreditzinsen nicht zum Fälligkeitstermin bezahlt und somit nicht getilgt werden. Diese Zinsen erhöhen den Schuldenstand und werden in weiterer Folge bei der Zinsenberechnung berücksichtigt (Zinsenberechnung vom ursprünglichen Kreditbetrag und den schuldig gebliebenen Zinsen, sogenannte Zinseszinsen).

Bei der Zinseszinsrechnung wird also der Wert einer Zahlung zu einem beliebigen Zeitpunkt unter Berücksichtigung der Zinseszinsen bestimmt. Dieser beliebige Zeitpunkt kann entweder in der Zukunft liegen – man spricht dann vom sogenannten „Aufzinsen“ – oder er kann in der Vergangenheit liegen – dann spricht man vom sogenannten „Abzinsen“.

Schematische Darstellung der Zinseszinsrechnung

5.2.2.2. Aufzinsen in der Zinseszinsrechnung

Natürlich kann das oben schematisch dargestellte Beispiel viel einfacher und schneller mit Hilfe der Aufzinsungsformel der Zinseszinsrechnung berechnet werden:

Mittels folgender Formel wird ermittelt, welchen Wert ein zum gegenwärtigen Zeitpunkt gegebenes Kapital K₀ nach n Perioden (Monate, Quartale, Jahre) hat, wenn zwischendurch keine weiteren Aus- und Einzahlungen (auch keine Zinsauszahlungen) erfolgen.

In der Finanzmathematik bezeichnet man folgenden Bruch auch sehr häufig mit i:

und (1 + i) sehr häufig mit q:

q = 1 + i

Die Formel heißt daher auch:

K_n = K₀ × (1 + i)ⁿ = K₀ × qⁿ

Das bedeutet, dass das Startkapital K₀ mit dem Aufzinsungsfaktor qⁿ multipliziert wird.

Bei Verwendung der Formel ist zu beachten, dass der Zinssatz p und die Laufzeit n immer auf dieselbe Zeiteinheit bezogen sind, das bedeutet:

• bei Verwendung eines Monatszinssatzes muss die Laufzeit in Monaten angegeben sein,

• bei Verwendung eines Jahreszinssatzes muss die Laufzeit in Jahren angegeben sein etc.

Für den Fall, dass die Zeiteinheit nicht übereinstimmt, muss der Zinssatz entsprechend umgerechnet werden. Dafür gibt es verschiedenste Methoden, die im Kap 5.2.4. näher S. 125erläutert werden. An dieser Stelle sei nur kurz auf eine einfache, in der Praxis sehr häufig verwendete lineare Umrechnungsmethode hingewiesen, wie gegebene Zinssätze linear auf andere Zeiteinheiten umgerechnet werden:

Genauso können natürlich auch Quartalszinssätze in Monats- oder Jahreszinssätze umgerechnet werden und umgekehrt.

Fallen im Betrachtungszeitraum allerdings mehrere Zahlungen an, so kann der Endwert folgendermaßen ermittelt werden:

• Aufzinsen jeder einzelnen Zahlung bis zum gewünschten Zeitpunkt n und

• Addition der Endwerte der einzelnen aufgezinsten Zahlungen = Gesamtendwert.

S. 126Erfolgen während der Laufzeit allerdings nicht nur Kreditaufnahmen, sondern auch Kreditrückzahlungen, so kann genauso vorgegangen werden. Allerdings müssen Rückzahlungen mit unterschiedlichen Vorzeichen versehen werden:

5.2.2.3. Abzinsen in der Zinseszinsrechnung

Das Abzinsen ist die „Umkehrung“ des Aufzinsens.

Man könnte sich natürlich ebenso die Frage stellen, wie hoch denn ein bestimmtes Anfangskapital war, wenn man nach drei Jahres ein bestimmtes Endkapital inklusive Zinsen und Zinseszinsen herausbekommt. Das lässt sich einfach und bequem mit der Abzinsungsformel berechnen (entspricht der umgeformten Aufzinsungsformel!):

Mittels folgender Formel wird ermittelt, welchen Wert K₀ ein zum Zeitpunkt n gegebenes Kapital K_n zum gegenwärtigen Zeitpunkt 0 hat, wenn zwischendurch keine weiteren Aus- und Einzahlungen (auch keine Zinsauszahlungen) erfolgen.

Das bedeutet, dass das Endkapital K_n durch den Aufzinsungsfaktor dividiert oder mit dem Abzinsungsfaktor

multipliziert wird.

Mittels dieser Formel können einmalige Zahlungen mühelos abgezinst werden. Fallen allerdings innerhalb eines Betrachtungszeitraums wiederum mehrere Zahlungen an, so ist folgendermaßen zu verfahren:

• Abzinsen jeder einzelnen Zahlung bis zum Zeitpunkt 0,

• Addition der abgezinsten Werte (Barwerte) = Gesamtbarwert.

Man sieht also, dass man den Barwert bequem berechnen kann, sobald man den Endwert gegeben bzw errechnet hat und umgekehrt.

S. 1285.2.2.4. Verwendete Symbole in der Zinseszinsrechnung

In der Finanzmathematik werden häufig für eine Größe unterschiedliche Namen und Symbole verwendet, zum Beispiel:

• für das Startkapital:

  K₀ = Kapital zum Zeitpunkt 0

  B = Barwert

  PV = Present Value

• für das Endkapital:

  K_n = Kapital zum Zeitpunkt n

  E = Endwert

  FV = Future Value

• für (p/100) das Symbol i und

• für (1 + i) das Symbol q.

5.2.3. Grundlagen der Rentenrechnung

Unter einer Rente versteht man in der Finanzmathematik Zahlungen, die:

• in jeweils gleicher Höhe und

• in gleichen Zeitabständen

anfallen.

Typische Beispiele für Renten sind regelmäßige Kreditannuitäten, Versicherungsprämien und eben auch Leasingraten.

5.2.3.1. Vorschüssige versus nachschüssige Rente

Je nachdem, ob eine Rente zu Beginn einer Periode oder am Ende der jeweiligen Periode anfällt, spricht man von:

• vorschüssigen Renten (Zahlung zu Beginn der Periode) oder

• nachschüssigen Renten (Zahlung am Ende der Periode).

Diese Umrechnung ist insofern von großer Bedeutung, als sämtliche Basisformeln zur Rentenrechnung von nachschüssigen Renten ausgehen. Finanzmathematische Taschenrechner und Kalkulationsprogramme können allerdings auf „vor- oder nachschüssig“ eingestellt werden.

Auch bei Renten besteht natürlich – wie bei einzelnen Zahlungen – häufig Interesse daran, den Zeitwert einer Zahlungsreihe (Rentenreihe) zu einem bestimmten Zeitpunkt zu kennen. In den nächsten beiden Kapiteln wird daher die Ermittlung des Rentenendwerts (Kap 5.2.3.2.) und der Rentenbarwerts (Kap 5.2.3.3.) behandelt.

5.2.3.2. Berechnung des Rentenendwerts

Die Berechnung des Rentenendwerts stellt im Grunde einen Spezialfall des Aufzinsens bei mehreren Zahlungen dar: Es wird der Endwert von n gleich hohen Zahlungen ermittelt, die entweder zu Beginn oder am Ende einer Periode fällig sind.

Natürlich hätte man dieselbe Lösung einfacher unter Verwendung einer Formel erzielt:

Rentenendwertformel

S. 131Da die vorschüssige Rente durch einmaliges Aufzinsen in eine nachschüssige Rente umgeformt werden kann (Z_n = Z_v × q), lautet die Formel:

5.2.3.3. Berechnung des Rentenbarwerts

Die Berechnung des Rentenbarwerts stellt einen Spezialfall des Abzinsens bei mehreren Zahlungen dar: Es wird der Barwert von n gleich hohen Zahlungen ermittelt, die entweder zu Beginn oder am Ende einer Periode fällig sind.

Natürlich hätte man auch hier dieselbe Lösung einfacher unter Verwendung einer Formel erzielt:

Rentenbarwertformel

Wenn man die Formel näher betrachtet, so ist zu erkennen, dass der einzige Unterschied der Rentenbarwertformel und der Rentenendwertformel die Division durch qⁿ ist. Zwischen dem Rentenbarwert und dem Rentenendwert bestehen – genauso wie zwischen Endwert und Barwert aus der Zinseszinsrechnung – folgende Zusammenhänge:

Man sieht also, dass man auch den Rentenbarwert einfach durch Abzinsen berechnen kann, sobald man den Rentenendwert gegeben bzw errechnet hat und umgekehrt.

Da die vorschüssige Rente durch einmaliges Aufzinsen in eine nachschüssige Rente umgeformt werden kann (Z_n = Z_v × q), lautet die Formel bei vorschüssiger Rente:

5.2.3.4. Berechnung der Ratenhöhe

Vor allem im Finanzierungsbereich ist es von großem Interesse, die Höhe einer Rate (Rente) auszurechnen. Die Berechnung einer vor- bzw nachschüssigen Rate kann entweder auf Basis eines gegebenen Rentenendwerts oder eines gegebenen Rentenbarwerts erfolgen:

Berechnung der Rate bei gegebenem Rentenendwert

Die Berechnung der Rate bei gegebenem Rentenendwert kann ganz einfach aus der Rentenendwertformel errechnet werden, indem man diese umformt und Z_n bzw Z_v explizit macht:

Berechnung der Rate bei gegebenem Rentenbarwert

Die Berechnung der Rate bei gegebenem Rentenbarwert (das ist die Finanzierungsbasis) – die üblichste Form im Finanzierungsbereich – kann aus der Rentenbarwertformel errechnet werden, indem man diese umformt und Z_n bzw Z_v explizit macht:

5.2.3.5. Die „interne“ Verzinsung

In den bisherigen Beispielen wurde immer davon ausgegangen, dass der Zinssatz bekannt ist. Gerade bei der Beurteilung von Leasingverträgen ist dieser jedoch häufig nicht unmittelbar bekannt. Meist ist nur die Höhe des Kaufpreises (= Rentenbarwert), die Laufzeit und die Höhe der Leasingraten bekannt und der zugrunde liegende Zinssatz ist zu errechnen.

Zinsen sind Entgelt – bzw Kosten – für zur Verfügung gestelltes Kapital. Will man die Kosten mehrerer Finanzierungsformen miteinander vergleichen, so ist es erforderlich, diese in Form eines Zinssatzes auszudrücken.

Für die Bestimmung des Zinssatzes gibt es keinen mathematisch exakten Lösungsweg, da zu dessen Ermittlung die Lösung einer Gleichung höheren Grades erforderlich ist.

Generell gilt: Der interne Zinsfuß ist jener Zinssatz, der beim Abzinsen einer Zahlungsreihe einen Barwert von Null ergibt. Er stellt die Rendite des gebundenen Kapitals dar.

Da der interne Zinsfuß – wie bereits angeführt – nicht exakt ermittelt werden kann, wird der Zinssatz näherungsweise bestimmt. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten, von denen folgende hier behandelt werden:

• Ermittlung mittels linearer Interpolation,

• Ermittlung mittels finanzmathematischem Rechner oder Kalkulationsprogrammen,

• Ermittlung des internen Zinssatzes mittels linearer Interpolation.

Wie bereits festgestellt, ist der interne Zinsfuß jener Zinssatz, der beim Abzinsen einer Zahlungsreihe einen Barwert von null ergibt, das bedeutet:

Die Auflösung der Gleichung nach n bereitet Schwierigkeiten, daher kann eine (näherungsweise) Lösung durch Abzinsen der Zahlungsreihe mit zwei Versuchszinssätzen und anschließender linearer Interpolation ermittelt werden, deren Genauigkeit im Allgemeinen ausreicht (obwohl es sich bei der Funktion der Barwerte um eine nicht lineare Funktion handelt).

Bei der Lösung des Beispiels ist generell Folgendes zu beachten:

• Die Zahlungsreihe muss vollständig sein, das bedeutet sie muss alle mit dem Finanzierungsobjekt im Zusammenhang stehenden Zahlungen umfassen. In unserem Beispiel bedeutet das:

  Es sind die Zahlungen (finanzmathematisch: Auszahlungen) des Leasingnehmers an die Leasinggesellschaft zu erfassen (Anzahlung, Raten, Restwert) und es sind die Zahlungen (finanzmathematisch: Einzahlungen) des Leasinggebers an den Leasingnehmer zu erfassen (Zahlung des Anschaffungswerts).

• Einzahlungen und Auszahlungen sind mit unterschiedlichen Vorzeichen zu erfassen, wobei in der Regel Einzahlungen mit „+“ und Auszahlungen mit „–“ in der Zahlungsreihe berücksichtigt werden.

• Der errechnete interne Zinsfuß bezieht sich immer auf jene Zeiteinheit, die der Zahlungsreihe zugrunde liegt. Das bedeutet in unserem Beispiel

  Zahlungsreihe mit monatlichen (Ein- und) Auszahlungen: Der errechnete interne Zinsfuß ist ein Monatszinssatz.

  Natürlich kann der ermittelte Zinssatz anschließend in einen Jahreszinssatz etc umgerechnet werden.

Werden diese Punkte beachtet, so drückt der interne Zinssatz aus, mit welchem Zinssatz sämtliche Ein- und Auszahlungen pro Periode (Monat, Quartal, Jahr) verzinst wurden.

Je mehr Interpolationen durchgeführt werden, desto exakter wird das ermittelte Ergebnis.

Ermittlung des internen Zinssatzes mittels finanzmathematischem Rechner oder Kalkulationsprogrammen

Selbst finanzmathematische Rechner oder Kalkulationsprogramme können den internen Zinssatz nicht exakt ermitteln und „probieren“ aus. Trotzdem sind gerade hier diese Rechenhilfen ideal geeignet.

Als Beispiele für Kalkulationshilfen sind der in der Praxis häufig verwendete finanzmathematische Rechner 17 B II von Hewlett Packard sowie das bekannte Kalkulationsprogramm Excel von Microsoft anzuführen. Diese beiden Rechenhilfen werden im Hinblick auf die Kalkulation von Leasingverträgen im Kap 5.2.5. näher vorgestellt.

5.2.4. Umrechnung von Zinssätzen

Wie bereits oben erwähnt, ist es bei finanzmathematischen Berechnungen (und daher natürlich auch in der Leasingkalkulation) wichtig, dass der Zinssatz und die Laufzeit auf dieselbe Zeiteinheit bezogen sind. Dh ist die Laufzeit in Monaten angegeben, so muss mit einem Monatszinssatz gerechnet werden; ist sie in Jahren angegeben, so ist mit einem Jahreszinssatz zu kalkulieren.

Da die Angabe des Zinssatzes aber nicht immer der Angabe der Laufzeit entspricht, ist es häufig erforderlich, Zinssätze umzurechnen. Bevor auf die Umrechnungsmethoden näher eingegangen wird, ist es vorher aber erforderlich, unterschiedliche Verzinsungsvereinbarungen darzustellen.

S. 139

Abb 19: Mögliche Verzinsungsarten

5.2.4.1. Lineare Zinsumrechnung

Bei dieser Methode erfolgt die Zinsumrechnung linear, dh der gewünschte Zinssatz wird linear auf die gewünschte Zeiteinheit umgelegt.

Das bedeutet:

etc.

In der Leasingpraxis erfolgt die Umrechnung trotz dieser Ungenauigkeit in der Regel linear. Dh, dass der Effektivzinssatz bei der Leasingfinanzierung üblicherweise etwas höher ist als der Nominalzinssatz (Kalkulationszinssatz).

Bei der gemischten Verzinsung (kommt in der Leasingfinanzierung nicht vor), erfolgt während des Jahres (Quartals etc) keine Zinskapitalisierung, dh die lineare Umrechnung liefert ein exaktes Ergebnis, da keine Zinseszinsen berücksichtigt werden müssen.

5.2.4.2. Zinsumrechnung mittels Aufzinsungsfaktor

Bei dieser Methode erfolgt die Umrechnung mittels Aufzinsungsfaktor, dh es werden unterjährige Zinseszinsen (dh die Kapitalisierung während des Jahres) berücksichtigt.

Bei Umrechnung mittels Aufzinsungsfaktor wird also der nominelle Jahreszinssatz derart in einen Monatszinssatz umgerechnet, dass das Aufzinsen eines Betrages über 12 Monate zu demselben Endkapital nach einem Jahr führt wie die einfache Zinsenrechnung unter Verwendung des nominellen Jahreszinssatzes.

Wie man sieht, liefert diese Methode ein exaktes Ergebnis und daher einen Effektivzinssatz, der dem Nominalzinssatz pa entspricht.

Auf Basis derselben Überlegungen können natürlich auch Jahreszinssätze in Quartalszinssätze umgerechnet werden und Quartalszinssätze in Monatszinssätze:

5.2.5. Kalkulationshilfen in der Finanzmathematik

In der Finanzierungspraxis werden zur Berechnung von Raten, Zinssätzen etc natürlich diverse Kalkulationshilfen herangezogen. Hier bieten sich sowohl finanzmathematische Rechner als auch Kalkulationsprogramme an, wobei sich in der Praxis vor allem folgende zwei Kalkulationshilfen bewährt haben:

• Kalkulationsprogramm Excel von Microsoft und

• finanzmathematischer Rechner 17 B II von Hewlett Packard (HP).

Im nachfolgenden Kapitel werden diese zwei Kalkulationshilfen näher dargestellt und ebenfalls für die Kalkulation der Rechenbeispiele herangezogen. Somit beinhalten sämtliche Kalkulationsbeispiele nicht nur die finanzmathematischen Lösungen mittels Zahlungsreihen und Formeln, sondern immer auch mit dem Kalkulationsprogramm Excel und dem Rechner HP 17 B II.

5.2.5.1. Kalkulationsprogramme (Beispiel Excel)

In diesem Kapitel soll am Beispiel des Excel die Berechnung finanzmathematischer Größen mittels Kalkulationsprogrammen vorgestellt werden.

Ganz generell ist festzuhalten, dass das Tabellenkalkulationsprogramm Excel ausschließlich mit dekursiven Zinssätzen rechnet. Das bedeutet, dass bei Angabe eines antizipativen Zinssatzes, dieser zuerst in einen dekursiven Zinssatz umgerechnet werden muss.

S. 1425.2.5.1.1. Excel-Funktionen der Zinseszinsrechnung

Folgende Fragen können unter Verwendung finanzmathematischer Excel-Funktionen beantwortet werden:

• Wie hoch ist der Endwert bei gegebenem Barwert, Zinssatz und Laufzeit?

• Wie hoch ist der Barwert bei gegebenem Endwert, Zinssatz und Laufzeit?

• Wie lange ist die Ratenlaufzeit bei gegebenem Barwert, Endwert und Zinssatz?

• Wie hoch ist der interne Zinssatz bei gegebenem Barwert, Endwert und Laufzeit?

Leider wurde bei den Funktionen und Variablen in Excel nicht die übliche finanzmathematische Terminologie übernommen, was das Arbeiten mit den Funktionen etwas erschwert.

Folgende Funktionen stehen dazu zur Verfügung:

Die Variablen, die zur Berechnung der Funktionen eingegeben werden müssen, sind folgende:

S. 143Wichtig ist hier natürlich wiederum, dass:

• die Zahlungsreihe mit den richtigen Vorzeichen eingegeben wird und

• der Zahlungszeitraum mit der Angabe des Zinssatzes übereinstimmt.

Man kann hier ganz gut erkennen, dass bei der Auf- oder Abzinsung eines Betrages:

• der Betrag der regelmäßigen Zahlung (Annuität) immer „0“ zu setzen ist und

• der Wert für die Renten-Fälligkeit bedeutungslos ist („0“ oder „1“).

5.2.5.1.2. Excel-Funktionen der Rentenrechnung

Bei in jeder Periode gleich hohen Renten

Grundsätzlich werden die bei der Zinseszinsrechnung vorgestellten EXCEL-Funktionen auch bei der Rentenrechnung (bei gleich hohen Renten) angewendet. Allerdings gibt es einige zusätzliche Funktionen in Excel, die für die Rentenrechnung interessant sind.

Folgende Fragen können unter Verwendung finanzmathematischer Excel-Funktionen daher zusätzlich beantwortet werden:

• Wie hoch ist die Rente bzw Annuität bei gegebenem Barwert, Endwert, Zinssatz und Laufzeit?

• Wie hoch ist der Tilgungsanteil bzw Zinsanteil einer bestimmten Annuität bei gegebener Annuität, Barwert, Endwert, Zinssatz und Laufzeit?

• Wie lange ist die Ratenlaufzeit bei gegebenem Barwert, Endwert und Zinssatz?

• Wie hoch ist der interne Zinssatz bei gegebenem Barwert, Endwert und Laufzeit?

S. 144Für obige Fragestellungen stehen folgende Funktionen zusätzlich zur Verfügung:

Zusätzlich erforderliche Variablen, die zur Berechnung der Funktionen eingegeben werden müssen:

Mittels der beiden letzten Funktionen KAPZ und ZINSZ können auch sehr leicht Tilgungspläne aufgestellt werden.

Bei unterschiedlich hohen Renten

Zusätzlich zu den bisher angeführten Funktionen liefert Excel auch Hilfestellungen, wenn nicht gleich hohe Renten bezahlt werden, sondern wenn ungleich hohe Zahlungen geleistet werden.

Folgende Funktionen stehen zusätzlich zur Verfügung:

S. 146Zusätzlich erforderliche Variablen, die zur Berechnung der Funktionen eingegeben werden müssen:

Für weitere Werte, wie zum Beispiel den Endwert der Zahlungsreihe oder die Annuität des ermittelten Barwerts, stehen keine Funktionen zur Verfügung. Diese Werte können nur durch „normales“ Aufzinsen bzw mittels Rentenbarwertfaktor etc ermittelt werden.

5.2.5.2. Finanzmathematische Rechner (Beispiel HP 17 B II)

Vorweg ist festzustellen, dass sämtliche Berechnungen, wie sie im Excel möglich sind und im vorigen Kapitel beschrieben wurden, auch mit Hilfe des finanzmathematischen Rechners HP 17 B II durchgeführt werden können. Der Unterschied zwischen dem S. 147Kalkulationsprogramm Excel und dem finanzmathematischen Rechner liegt in der unterschiedlichen Art der Eingabe bzw einer teilweise anderen Bezeichnung der einzelnen Stellen.

In weiterer Folge werden das Auffinden und die Auswahl des für die Leasingkalkulation erforderlichen Menüpunktes behandelt.

Bei gleich hohen Renten

Für die Kalkulation von gleich hohen Renten sind folgende Einstellungen beim HP 17 B II erforderlich:

Nach Einschalten des Rechners kommt man in das Hauptmenü:

Im Hauptmenü wählt man das Menü FINANZ (Position 1):

Die Leasingkalkulation wird im Menüpunkt „ANNU“ durchgeführt. Nach Drücken des Annuitätenmenüs findet sich folgende Menüzeile:

Mit Drücken der Position 6 WEIT kann ein Submenü aufgerufen werden.

Da im vorigen Kapitel zum Excel-Kalkulationsprogramm die einzelnen Variablen zur Kalkulation von Annuitäten (= Leasingraten) bereits erklärt wurden, werden die Positionen im Annuitätenmenü des finanzmathematischen Rechners nur mehr im Vergleich zum Excel-Programm angeführt:

S. 148Im Submenü WEIT finden sich folgende Variablen zur Eingabe:

Wesentlich für die Durchführung bei einer Leasingkalkulation ist, dass bei der Eingabe die richtigen Vorzeichen verwendet werden. Hierbei gilt folgende Systematik:

Der Vorteil bei der Benutzung des finanzmathematischen Rechners liegt in dem sehr einfachen Eingabemodus. Zur Berechnung eines Werts sind alle anderen Variablen entsprechend einzugeben.

Anhand des bereits im Kap 5.2.5.2. angeführten Beispiels müssen zur Berechnung der vorschüssigen Leasingraten folgende Eingaben getätigt werden:

Nach Drücken der Position 4 errechnet sich folgende vorschüssige Rate: € 6.987,57.

Bei unterschiedlich hohen Renten

Für unterschiedlich hohe Renten findet sich beim HP 17 B II das Menü Z-STR (Zahlungsstrom). Voraussetzung für die Nutzung die Bearbeitung einer Zahlungsreihe ist, dass die jeweiligen Zahlungen in gleichen Zeitabständen erfolgen. Nach Eingabe der einzelnen Zahlungsbeträge in eine Liste lassen sich folgende Werte berechnen:

• die Summe des Zahlungsstroms,

• der interne Zinsfuß (IZF%),

• der Nettobarwert (NBW), die äquivalente Rate (ÄQ.R),

• der Nettoendwert (NEW) für einen spezifizierten Zinssatz (I%).

S. 149Die Vorgangsweise ist ausgehend vom Hauptmenü wie folgt:

Im Hauptmenü wählt man das Menü FINANZ (Position 1)

Die Kalkulation wird im Menüpunkt „Z-STR“ durchgeführt. Nach Drücken dieser Position 3 findet sich folgende Menüzeile:

Mit Drücken der Position 1 RECH kann ein Submenü aufgerufen werden.

Auch bei der Bearbeitung unterschiedlich hoher Renten sind die beim finanzmathematischen Rechner verwendeten Bezeichnungen wie nachfolgend dargestellt mit dem Excel-Kalkulationsprogramm vergleichbar. Hinzu kommen lediglich Tasten für die Eingabe des Zahlungsstroms.

Die Eingabe des Zahlungsstroms wird wie folgt durchgeführt:

Im Submenü können unter anderem folgende Berechnungen durch Drücken der jeweiligen Menüposition durchgeführt werden:

• Gesamtsumme der Zahlungen (Position 1)

• Interner Zinsfuß (IZF) (Position 2)

• Nettobarwert (NBW) (Position 4)

Für die Berechnung des Nettobarwerts muss noch der Kalkulationszinsfuß in Höhe von 10 % pa wie folgt eingegeben werden:

5.3. Anwendung finanzmathematischer Grundlagen bei der Leasingkalkulation

5.3.1. Branchenübliche Leasingkalkulation in Österreich

In der Regel wird in Österreich im Leasinggeschäft folgendermaßen kalkuliert:

• Es werden gleichbleibende Monatsraten berechnet.

• Der Leasingratenberechnung liegt ein Zinssatz zugrunde, der die Refinanzierungskosten und Zuschläge für Verwaltung, Vertrieb und Gewinnaufschlag für den Leasinggeber abdeckt.

• Die Verzinsung erfolgt dekursiv.

• Die Zahlweise der Leasingraten erfolgt vorschüssig, das bedeutet, dass die Leasingraten für den betreffenden Monat jeweils am Monatsersten zur Zahlung fällig sind.

• Die Umrechnung von Jahres-Kalkulationszinssätzen in Monatszinssätze erfolgt linear.

Finanzmathematisch handelt es sich:

• bei der Kalkulation der Leasingraten um Zeitrenten, die mit Hilfe der Annuitätenformel berechnet werden können und

• bei der Ermittlung des Leasingzinssatzes um einen „internen Zinssatz“, der auf Basis gegebener Monatsraten, Leasinglaufzeit, Restwert und zu finanzierendem Kapital errechnet wird.

Grundsätzlich sind folgende Fragestellungen in der Leasingkalkulation interessant:

• Wie hoch ist die Leasingrate auf Basis gegebener Leasinglaufzeit, Zinssatz, zu finanzierendem Kapital und Restwert?

• Wie hoch muss eine bestimmte Ausgleichszahlung (Restwert, Anzahlung etc) vereinbart werden auf Basis gegebener Leasinglaufzeit, Zinssatz, Ratenhöhe und zu finanzierendem Kapital?

• Wie hoch ist der effektive Leasingzinssatz auf Basis gegebener Monatsraten, Leasinglaufzeit, zu finanzierendem Kapital und Restwert?

5.3.2. Basisdaten einer Leasingkalkulation (Kalkulationsbestandteile)

Folgende Kalkulationsbestandteile sind für alle nachfolgend beschriebenen Leasingmodelle einheitlich:

• S. 152Finanzierungsbetrag: Als zu finanzierender Betrag sind die gesamten Ausgaben des Leasinggebers für die Bereitstellung des Leasingobjekts anzusetzen. Im Falle der Erbringung von Eigenleistungen durch den Leasingnehmer verringert sich der Finanzierungsbetrag.

• Laufzeit des Leasingvertrags: Unter der Laufzeit des Leasingvertrags ist die zwischen Leasinggeber und Leasingnehmer vertraglich vereinbarte Leasingdauer zu verstehen und bildet damit finanzmathematisch die jeweilige Kalkulationsdauer. Die Laufzeit wird üblicherweise in Monaten bzw durch die Anzahl von Monatsraten angegeben. In seltenen Fällen gibt es auch die Vereinbarung von Quartals- und Jahresraten.

• Kalkulatorischer Restwert: Der kalkulatorische Restwert stellt den – während der Laufzeit des Leasingvertrags – nicht amortisierten Teil der Gesamtfinanzierungskosten dar.

• Kalkulationszinssatz: Der Kalkulationszinssatz ist jener Zinssatz, mit dem ein Leasingvertrag kalkuliert wird.

• Leasingrate: Die Leasingrate ist der vom Leasingnehmer für die Nutzungsüberlassung zu bezahlende Betrag pro Berechnungsperiode.

Weiters sind noch folgende Kalkulationsbestandteile möglich, die die zu finanzierende Leasingbasis – und dadurch auch die Leasingraten – reduzieren:

• Leasingsonderzahlung/Mietvorauszahlung:

  Wie bereits an anderer Stelle behandelt, besteht die Möglichkeit, dass der Leasingnehmer eine Leasingsonderzahlung/Mietvorauszahlung vor Vertragsbeginn leistet. Hierunter versteht man eine Anzahlung (Einmalbetrag), die üblicherweise mit der ersten Leasingrate fällig ist. Es besteht aber prinzipiell auch die Möglichkeit, dass eine Leasingsonderzahlung während der Vertragslaufzeit geleistet wird. Diese Sonderzahlung kann grundsätzlich sowohl beim Voll- als auch beim Teilamortisationsmodell vom Leasingnehmer eingebracht werden und sollte aus steuerrechtlichen Gründen 30 % der Netto-Anschaffungskosten des Leasingobjekts nicht übersteigen.

• Depotzahlung/Kaution (einmalige oder laufende Kautionen):

  Darunter versteht man einen üblicherweise mit der ersten Leasingrate fälligen Betrag, der zur Besicherung der Verpflichtungen dient, die der Leasingnehmer im Vertrag übernommen hat. Es besteht aber auch die Möglichkeit, laufende Kautionen zu vereinbaren. Die Depotzahlung ist grundsätzlich nur beim Teilamortisationsleasing anwendbar und sollte aus steuerlichen Gründen maximal 50 % der Netto-Anschaffungskosten des Leasingobjekts betragen. Im Übrigen sollte die einmalige Depotzahlung/Kaution bzw der Gesamtbetrag der laufenden Kautionen in Summe den kalkulatorischen Restwert nicht übersteigen.

Natürlich ist auch eine Kombination von Leasingsonderzahlung und Depotzahlung möglich.

S. 1535.3.3. Generelle Vorgangsweise bei der Leasingkalkulation

In diesem Kapitel wird auf die generelle Vorgangsweise bei der Leasingkalkulation eingegangen. Eine konkrete Anwendung der Leasingkalkulation unter Berücksichtigung steuerlicher Rahmenbedingungen finden Sie im Kap 5.4.

Die Leasingkalkulation stellt eine mögliche Anwendung der Finanzmathematik dar, insbesondere der Zinseszins- und Rentenrechnung. Aufgrund einer Zahlungsreihe können Barwerte, Endwerte, Renten etc berechnet werden.

Daher ist der erste – und elementare – Schritt bei einer Leasingkalkulation das Aufstellen der Zahlungsreihe (auf Basis der gegebenen Größen).

Hier gilt wie bisher, dass:

• die Zahlungsreihe vollständig sein muss, somit alle mit dem Finanzierungsobjekt im Zusammenhang stehenden Zahlungen umfassen muss: Somit sind als „Auszahlungen“ des Leasingnehmers die Eigenleistungen (Mietvorauszahlung, Depot), die laufenden Leasingraten sowie der nicht amortisierte Restwert zu erfassen. Weiters sind die „Einzahlungen“ des Leasinggebers an den Leasingnehmer in Form des bezahlten Anschaffungswerts zu berücksichtigen.

• Einzahlungen und Auszahlungen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu erfassen sind, wobei Einzahlungen mit „+“ und Auszahlungen mit „–“ in der Zahlungsreihe berücksichtigt werden.

In einem zweiten Schritt ist zu überprüfen, ob der Kalkulationszinssatz p und die Laufzeit n auf dieselbe Zeiteinheit bezogen sind, dh bei der Kalkulation von Monatsraten ist ein Monatszinssatz heranzuziehen usw. Falls dies nicht der Fall ist, so ist der Zinssatz entsprechend umzurechnen. Wünscht man ein exaktes Ergebnis, so erfolgt die Umrechnung über den Aufzinsungsfaktor. In der Leasingpraxis erfolgt die Umrechnung allerdings – wie bereits angeführt – meist linear.

S. 154Die weitere Vorgangsweise ist abhängig von der Fragestellung

Abb 20: Fragestellungen in der Leasingkalkulation

Bei den Erläuterungsbeispielen werden daher in weiterer Folge immer vorher die einzelnen Schritte in Form eines so genannten „Lösungsweges“ dargestellt, bevor die finanzmathematische Lösung dargestellt wird.

5.3.3.1. Beispiele zu den einzelnen Fragestellungen

5.3.3.1.1. Fragestellung 1: Höhe der Leasingrate?

5.3.3.1.2. Fragestellung 2: Höhe der Ausgleichszahlung?

S. 1585.3.3.1.3. Fragestellung 3: Höhe des Leasingzinssatzes?

5.4. Leasingkalkulation auf Basis unterschiedlicher Leasingmodelle (unter Berücksichtigung umsatzsteuerlicher Rahmenbedingungen)

5.4.1. Vorbemerkungen zur Leasingkalkulation

Umsatzsteuer

• Die Leasinggesellschaft kann die beim Kauf des Leasingobjekts bezahlte Umsatzsteuer als Vorsteuer geltend machen. Somit ist diese Umsatzsteuer lediglich ein Durchlaufposten, wodurch als Finanzierungsbasis nur der Nettobetrag des Kaufpreises herangezogen werden kann.

• Allerdings unterliegen die laufenden Leasingraten, Leasingsonderzahlungen und ein allfälliger Ankaufspreis am Laufzeitende der Umsatzsteuer von 20 %.

• Ist der Leasingnehmer Unternehmer im Sinne des Umsatzsteuergesetzes, so kann er die Umsatzsteuer als Vorsteuer geltend machen. (Ausnahmen bestehen natürlich bei Objekten, die auch im Falle des Kaufs einem Verbot des Vorsteuerabzugs unterliegen. Dies betrifft insbesondere einen Großteil der Pkw.)

Zur Vereinfachung der Leasingkalkulation sowie zur Vermeidung von Rechenfehlern bei Kalkulationsbestandteilen, die nicht der Umsatzsteuer unterliegen, wird in einem ersten Schritt bei den nachfolgenden Rechenbeispielen die Kalkulation der Leasingraten auf Nettobasis berechnet. In einem zweiten Schritt wird die Brutto-Leasingrate berechnet.

In weiterer Folge werden daher sämtliche Kalkulationen auf Nettobasis durchgeführt, dh:

• der Netto-Anschaffungswert,

• eine eventuelle Netto-Leasingsonderzahlung und

• ein eventueller Netto-Restwert

zur Kalkulation der Netto-Leasingrate herangezogen.

Gesetzliche Rechtsgeschäftsgebühr

• Jeder Leasingvertrag unterliegt der gesetzlichen Rechtsgeschäftsgebühr, die der Leasingnehmer zu tragen hat. Allerdings kann vereinbart werden, dass sie durch die Leasinggesellschaft mitfinanziert wird.

• Die Bemessungsgrundlage ist die Summe der Leasingentgelte (inkl Umsatzsteuer) zuzüglich etwaiger vertragsbezogener, schätzbarer Nebenleistungen. Die Leasingsonderzahlung geht im Gegensatz zur Depotzahlung in die Bemessungsgrundlage ein.

• S. 160Die Rechtsgeschäftsgebühr beträgt bei unbestimmter Vertragsdauer 1 % der 36-fachen Brutto-Monatsrate. In der Regel werden Leasingverträge auf unbestimmte Zeit abgeschlossen.

• Bei bestimmter Vertragsdauer beträgt die Gebühr 1 % sämtlicher für diesen Zeitraum zu entrichtenden Brutto-Raten. Die Vereinbarung einer bestimmten Vertragsdauer kommt aber in der Praxis nur bei Laufzeiten unter 36 Monaten vor.

• Bei vertraglicher Vereinbarung einer Haftpflicht- bzw Kaskoversicherung wird seitens des Finanzamtes, wenn die tatsächlichen Versicherungskosten nicht ermittelbar sind, derzeit pauschal ein Zuschlag von 6 % bzw 10 %, somit maximal 16 %, auf die Berechnungsbasis der Rechtsgeschäftsgebühr hinzugerechnet.

Eigenleistungen des Leasingnehmers

• Der Leasingnehmer kann Eigenleistungen in Form von einmaligen oder laufenden Zahlungen bei einer Leasingfinanzierung durchführen. Wesentlich für die Kalkulation dabei ist, in welcher Form die Zahlung im Hinblick auf die Umsatzsteuer erfolgt.

• Wird eine Leasingsonderzahlung vereinbart, so unterliegt sie der Umsatzsteuer. Der Leasinggeber stellt daher eine Rechnung über die Leasingsonderzahlung inklusive Umsatzsteuer aus und kalkuliert – wie bereits oben erwähnt – nur mit der Netto-Leasingsonderzahlung. Die Leasingsonderzahlung darf maximal 30 % des Netto-Anschaffungswerts betragen.

• Wird hingegen eine Kautions- oder Depotzahlung vereinbart, fällt keine Umsatzsteuer an und es kann daher die gesamte geleistete Depotzahlung – ohne Abzug einer Umsatzsteuer – für die Leasingkalkulation herangezogen werden. Eine Depotzahlung kann nur beim Teilamortisationsleasing vereinbart werden und darf maximal 50 % der Netto-Anschaffungskosten betragen.

• Selbstverständlich können auch beide Formen der Eigenleistung bis zu einem Maximum von 50 % der Netto-Anschaffungskosten vereinbart werden.

In weiterer Folge wird anhand von Praxisbeispielen die Kalkulation beim Leasing wie folgt dargestellt:

Abb 21: Kalkulationsbeispiele

S. 161Im nächsten Schritt wird die Kalkulation beim Vollamortisationsleasing und beim Teilamortisationsleasing vorgestellt, wobei bei jedem der beiden Modelle folgende Vorgangsweise gewählt wurde:

• In einem ersten Schritt wird die Kalkulation (des Voll- oder Teilamortisationsleasing) ohne Eigenleistung des Leasingnehmers dargestellt und erst

• in einem zweiten Schritt die Kalkulation mit Eigenleistung des Leasingnehmers.

5.4.2. Kalkulation beim Vollamortisationsleasing

Kurze Wiederholung zum Vollamortisationsleasing:

• Beim Vollamortisationsleasing werden die Gesamtinvestitionskosten des Leasinggebers während der Leasingvertragslaufzeit – bis auf eine kleine Restrate – nahezu vollständig vom Leasingnehmer bezahlt.

• Die Restrate wird in der österreichischen Leasingpraxis in der Höhe einer Leasingrate vereinbart.

• Für den Leasinggeber bedeutet dies, dass er am Leasingvertragsende neben dem größten Teil der Investitionskosten auch die kalkulatorisch im Zinssatz berücksichtigten Refinanzierungs-, Verwaltungs- und Risikokosten inklusive Gewinnmarge erhalten hat.

5.4.2.1. Kalkulation ohne Eigenleistung des Leasingnehmers

5.4.2.2. Kalkulation mit Eigenleistung des Leasingnehmers

Da beim Vollamortisationsleasing als Eigenleistung des Leasingnehmers nur die Leasingsonderzahlung in Frage kommt, werden in weiterer Folge Beispiele unter Berücksichtigung einer Leasingsonderzahlung gezeigt:

5.4.3. Kalkulation beim Teilamortisationsleasing

Kurz zum Teilamortisationsleasing:

• Beim Teilamortisationsvertrag wird nur ein Teil der Gesamtinvestitionskosten über die laufenden Leasingraten zurückgeführt. Das bedeutet, dass am Leasingvertragsende ein Teil der Gesamtinvestitionskosten – der so genannte kalkulatorische Restwert – noch offen ist.

• Der Leasinggeber erhält diesen Restwert nur dann, wenn er das Leasingobjekt an den Leasingnehmer oder an einen Dritten verkaufen kann. Ebenso fließt der Restwert S. 177oder ein Teil davon zurück, wenn der Leasingnehmer am Vertragsende den Leasingvertrag weiter fortsetzt.

• Selbstverständlich erhält der Leasinggeber auch beim Teilamortisationsvertrag im Rahmen der laufenden Leasingraten neben den Amortisationsteilen auch die Refinanzierungs-, Verwaltungs- und Risikokosten inklusive Gewinnspanne.

5.4.3.1. Kalkulation ohne Eigenleistung des Leasingnehmers